Guten Morgen zusammen. Ich weiß nicht, ist der Ton da? Kommt mir ein bisschen schwach vor. Ist da? Okay.

Gut, fangen wir an. Wir sind jetzt fast fertig mit der Jodan-Normalform. Große Erleichterung.

Wir werden uns noch heute und vielleicht ein kleines bisschen noch am nächsten Termin damit beschäftigen.

Ich sage jetzt zwei vielleicht zwei organisatorische Dinge. Das eine ist, wie Sie vielleicht schon gesehen haben,

die Videoaufzeichnungen stehen insofern noch nicht zur Verfügung, als es gerade eine Umorganisation des Videoportals insgesamt gibt.

Das wird also vielleicht noch, weiß nicht wie lange, also jedenfalls einige Zeit auf sich warten lassen.

Ich habe jetzt auch noch nichts gesehen. Der andere Punkt ist, ich werde, werden Sie gleich sehen, habe mich entschlossen,

gegenüber dem, was Sie jetzt schon auf den Ausdruck der Folien wahrscheinlich vorzuliegen haben,

sozusagen noch einige kleine oder einige Ergänzungen zur Feinstruktur der Jodan-Normalform anbringen,

die Sie dann halt entsprechend mitschreiben müssten.

Gut, also was ist der Stand der Dinge? Wir hatten gesehen, wir können eine beliebige quadratische Matrix

im Falle eines algebraisch abgeschlossenen Körpers oder eben in dem Falle, wo wir wissen,

die Eigenwerte liegen alle in dem betreffenden Körper vor, sprich, wir haben eine reelle Matrix,

wir haben nur reelle Eigenwerte, dann kann das alles auch im reellen sich abspielen.

Wir können eine solche quadratische Matrix erst einmal auf Dreiecksgestalt bringen, das ist die Schurnormalform,

und dann aus dieser Dreiecksgestalt durch Lösen der Silvestergleichung auf die Gestalt einer Blockdiagonalmatrix.

Die Blöcke haben genau die Dimension der algebraischen Vielfachheiten, sind also eventuell,

die eventuell größer ist als die geometrische Vielfachheit und die sozusagen dahinterstehenden invarianten Unterräume

sind genau die Haupträume, die eben auch eventuell größer sind als die Eigenräume.

Der nächste und abschließende Schritt zur eigentlichen Jodan-Normalform ist dann,

diese im Allgemeinen nicht mehr diagonalisierbaren Blöcke in eine möglichst einfache Gestalt zu bringen,

das ist die Jodan-Gestalt, die dann neben diesem einen Diagonaleintrag,

der eben genau der Eigenwert zu dem Block ist, dann noch möglicherweise einzeln auf der ersten oberen Nebendiagonale hat.

Mehr gibt es da nicht.

Das sind also sehr kurze Zusammenhänge, immer nur binäre Zusammenhänge zwischen den...

Vielleicht machen Sie mal Ihr Handy aus.

Es sind nur sehr kurze Zusammenhänge zwischen den Eigenvektoren, das ist nicht so schön wie bei einer Eigenvektorbasis,

die eben der Eigenvektor nur durch sich selbst dargestellt wird, aber es ist demnächst möglich einfacher Fall.

Auf der Ebene des Typs von Basisvektoren haben wir das mit dem Begriff der Kette gefasst.

Also wir haben uns überlegt, gibt es Basen, und zwar in dem Fall, den wir sozusagen uns noch anschauen müssen,

nämlich den betreffenden Block minus den Diagonalanteil, und dieser betreffende Block ist dann eben ein nilpotenter Block,

also für den Fall einer nilpotenten Matrix haben wir uns gefragt, gibt es spezielle Basen, die die Gestalt von Ketten haben.

Was ist noch mal eine Kette?

Eine Kette entsteht dadurch, dass ich mit einem Vektor V ungleich Null starte,

sukzessive die Potenzen unter dem Operator bilde, bis zur p-einten Potenz,

dann habe ich also p-Elemente in der Kette, alle diese Elemente sollen von Null verschieden sein,

und dann die nächste Potenz, das pete Potenz, soll dann die Null ergeben.

Das heißt, die Kette endet in einem Eigenvektor zum Eigenwert Null,

oder zu dem einen Eigenwert, der eben eine nilpotente Matrix, ein nilpotenter Operator hat.

Wir können die Kette natürlich auch umkehren, andersrum durchlaufen,

dann starten wir mit dem Eigenvektor und gehen sozusagen immer sukzessive zu einem gewissen Urbild unter dem Operator V.

Aber so ist es einfacher aufzubauen, erst deswegen haben wir es mit dem Kettenbegriff so formuliert,

dann für die Jorder-Normalform-Darstellung tauschen wir aber die Reihenfolge um.

Wenn jetzt so eine Kette in einer Basis auftaucht, was bedeutet das?

Das haben wir auch schon gesehen.

So wie wir es jetzt aufgeschrieben haben, würde das bedeuten, dass die Darstellung, die zugehörige Darstellungsmatrix,

diese Einzen hier eben auf der unteren Nebendiagonale hat,

und durch das Umkehren der Reihenfolge transponieren wir diese Darstellungsmatrix,

und die Einzen kommen auf die oberen Nebendiagonale.

Frage, gibt es eine Basis aus Ketten?